Question

閱讀材料解答問題：如圖，在菱形ABCD中，AB=AC，過點C作一條直線，分別交AB，AD的延長線于M，N，則

1

AM

+

1

AN

=

1

AC

（1）試證明：

1

AM

+

1

AN

=

1

AC

；

（2）如圖，0為直線AB上一點，0C，OD將平角AOB三等分，點P₁，P₂，P₃分別在射線OA，OD，OB上，0P₁=r₁，0P₂=r₂，OP₃=r₃，r與r′分別滿足

1

r

=

1

r1

+

1

r2

，

1

r

=

1

r1

+

1

r2

+

1

r3

，用直尺在圖中分別作出長度r，r′的線段．

Answer 1

分析：（1）要證明

1

AM

+

1

AN

=

1

AC

即求證：

AC

AM

+

AC

AN

=1，根據AB=AC得到AC等于菱形的邊長，根據

AC

AM

=

CD

AM

=

CN

MN

，同理可得

AC

AN

=

MC

MN

，就可以證出所求結論；
（2）連接P₁，P₂交OC于點E，則0E=r，連接EP₃交OD于點F，則0F=-r′．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，
∴

AB

AM

=

CN

MN

，（1分）
又∵CD∥AM，
∴

AD

AN

=

CM

MN

，（2分）
∴

AB

AM

+

AD

AN

=

CN

MN

+

CM

MN

=1，（3分）
又∵AB=AD=AC，
∴

1

AM

+

1

AN

=

1

AC

；（4分）

（2）連接P₁，P₂交OC于點E，則0E=r，（6分）
連接EP₃交OD于點F，則0F=-r′．（8分）

點評：本題主要考查了平行線分線段成比例定理，根據這個定理可以把線段的比進行轉化．