Question

如圖，已知矩形ABCD中，BC=6，AB=8，延長AD到點E，使AE=15，連接BE交AC于點P．
（1）求AP的長；
（2）若以點A為圓心，AP為半徑作⊙A，試判斷線段BE與⊙A的位置關(guān)系并說明理由；
（3）已知以點A為圓心，r₁為半徑的動⊙A，使點D在動⊙A的內(nèi)部，點B在動⊙A的外部，求動⊙A的半徑r₁的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)四邊形ABCD是矩形，可證得AE∥BC，可以列出比例式求出AP的值；
（2）作AH⊥BE，垂足為H，首先求出BE的長，然后根據(jù)AB•AE=BE•AH式子求出AH的長，最后比較AH和半徑的大小；
（3）根據(jù)點與圓的位置關(guān)系可知，動⊙A的半徑r₁大于AD且小于AB．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AE∥BC，
∴△BPC∽△EPA，
∵AB=8，BC=6，
∴AC=10，
∵

AP

CP

=

AE

CB

，
即

AP

10-AP

=

15

6

解得：AP=

50

7

．

（2）∵AB=8，AE=15，
∴BE=17．
作AH⊥BE，垂足為H，
則AB•AE=BE•AH，
∴AH=

AB•AE

BE

=

8×15

17

=

120

17

．
∵

50

7

＞

120

17

，
∴⊙A與BE相交．

（3）如圖，點D在動⊙A的內(nèi)部，點B在動⊙A的外部，
則動圓A半徑的取值范圍為6＜r₁＜8．

點評：本題主要考查點與圓、直線與圓的位置關(guān)系的知識點，解答本題的關(guān)鍵是利用好三角形相似和垂徑定理等知識點，本題比較復雜，需要同學們做題時認真仔細．