Question

將一副直角三角板DEF按如圖1擺放，使直角頂點(diǎn)D落在等腰Rt△ABC的斜邊BC的中點(diǎn)上，DF，DE分別與AB，AC交于點(diǎn)M，N

（1）如果把圖1中的△DCN繞點(diǎn)D順時(shí)方向旋轉(zhuǎn)180^。，得到圖2，在不添加任何輔助線(xiàn)的情況下，圖2中除△DCN≌△DBG外，你還能找到一對(duì)全等的三角形嗎?寫(xiě)出你的結(jié)論并說(shuō)明理由.
（2）將三角板DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)
①當(dāng)M，N分別在AB，AC上時(shí)，線(xiàn)段BM，CN，MN之間有一個(gè)確定的等量關(guān)系.請(qǐng)你寫(xiě)出這個(gè)關(guān)系式(不需證明).
②如圖3當(dāng)點(diǎn)M，N分別在BA，AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)， ①的關(guān)系式是否仍然成立?寫(xiě)出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）△MGD≌△MND；
 證明: ∵△DCN繞點(diǎn)D順時(shí)方向旋轉(zhuǎn)180^。得到期 △ DBG
       ∴△DCN≌△DBG
        G，D，N三點(diǎn)共線(xiàn).
          ∴DN=DG
      在△MGD和△MND中      
    MD=MD ∠MDG=∠MDN=90^。   DN=DG
    ∴△MGD≌△MND(SAS)；（答案不唯一）
（2）①BM²+CN²=MN²；
② 答 ①的關(guān)系式仍然成立
      將△DCN繞點(diǎn)D順時(shí)方向旋轉(zhuǎn)180^。連接GM 
      ∴△DCN≌△DBG; ∠DCN=∠DBG
      ∵等腰Rt△ABC ∴∠ABC=∠ACD=45^。
         ∴∠DCN=∠DBG=135^。    ∠ABG=∠DBG-∠ABC=90^。
      同理可證△MGD≌△MND
      GM=MN 在Rt△GBM中  :BG²+BM² =GN²
        ∴ BM²+CN²=MN²