Question

如圖，拋物線y=-

1

2

x²+

2

2

x+2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點．
（1）求A、B、C三點的坐標；
（2）證明：△ABC為直角三角形；
（3）在拋物線上除C點外，是否還存在另外一個點P，使△ABP是直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）拋物線y=-

1

2

x²+

2

2

x+2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，分別將x=0，y=0代入求得A、B、C的坐標；
（2）由（1）得到邊AB，AC，BC的長，再根據勾股定理的逆定理來判定△ABC為直角三角形；
（3）根據拋物線的對稱性可得另一點的坐標．

解答：解：（1）∵拋物線y=-

1

2

x²+

2

2

x+2與x軸交于A、B兩點，
∴-

1

2

x²+

2

2

x+2=0．即x²-

2

x-4=0．
解之得：x₁=-

2

，x₂=2

2

．
∴點A、B的坐標為A（-

2

，0）、B（2

2

，0）．（2分）
將x=0代入y=-

1

2

x²+

2

2

x+2，得C點的坐標為（0，2）；（3分）

（2）∵AC=

6

，BC=2

3

，AB=3

2

，
∴AB²=AC²+BC²，則∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形；（6分）

（3）當PC∥x軸，即P點與C點是拋物線的對稱點，而C點坐標為（0，2）
設y=2，把y=2代入y=-

1

2

x²+

2

2

x+2得：-

1

2

x²+

2

2

x+2=2，
∴x₁=0，x₂=

2

．
∴P點坐標為（

2

，2）．（8分）

點評：此題考查了二次函數與x軸的交點的縱坐標為0；與y軸的交點的橫坐標為0；直角三角形的判定，二次函數的對稱性等知識點．