Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數y=kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數y=的圖象交于一、三象限內的A、B兩點，直線AB與x軸交于點C，點B的坐標為（-6，n），線段OA=5，E為x軸正半軸上一點，且tan∠AOE=
（1）求反比例函數的解析式；
（2）求△AOB的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點A作AD⊥x軸，在直角三角形AOD中，根據已知的三角函數值和線段OA的長求出AD與OD的長，得到點A的坐標，代入反比例函數解析式中求出反比例函數的解析式；
（2）把點B的橫坐標代入反比例函數解析式中得到B的坐標，然后分別把點A和點B的坐標代入一次函數解析式中，求出k與b的值即可得到一次函數解析式，從而求出點C的坐標，得到OC的長，最后利用三角形的面積公式求出三角形AOC與三角形BOC的面積，相加即可得到三角形AOB的面積．
解答：解：（1）過點A作AD⊥x軸，
在Rt△AOD中，∵tan∠AOE==，
設AD=4x，OD=3x，
∵OA=5，
在Rt△AOD中，根據勾股定理解得AD=4，OD=3，
∴A（3，4），
把A（3，4）代入反比例函數y=中，
解得：m=12，
則反比例函數的解析式為y=；

（2）把點B的坐標為（-6，n）代入y=中，
解得n=-2，
則B的坐標為（-6，-2），
把A（3，4）和B（-6，-2）分別代入一次函數y=kx+b（k≠0）得，
解得，
則一次函數的解析式為y=x+2，
∵點C在x軸上，令y=0，得x=-3
即OC=3，
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC=×3×4+×3×2=9．
點評：此題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，勾股定理，三角形函數值，以及三角形的面積公式的運用，用待定系數法確定函數的解析式，是常用的一種解題方法．同學們要熟練掌握這種方法．