Question

（2009•天水）如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長(zhǎng)BD到點(diǎn)C，使DC=BD，連接AC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E．
（1）求證：AB=AC；
（2）若⊙O的半徑為4，∠BAC=60°，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AD，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，得∠ADB=90°，再根據(jù)線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等即可證明；
（2）結(jié)合（1）中的結(jié)論，可以證明△ABC是等邊三角形，即可求得AC的長(zhǎng)，再根據(jù)銳角三角函數(shù)即可計(jì)算DE的長(zhǎng)．
解答：（1）證明：連接AD．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°．∵DC=BD，
∴AB=AC．

（2）解：∵∠BAC=60°，
由（1）知AB=AC，
∴△ABC是等邊三角形．
在Rt△BAD中，∠BAD=30°，AB=8，
∴BD=4，即DC=4．
又∵DE⊥AC，
∴DE=DC•sinC=4•sin60°=4×=2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理的推論、線段垂直平分線的性質(zhì)以及等邊三角形的判定．