Question

如圖，已知拋物線y=﹣x²+bx+c與一直線相交于A（﹣1，0），C（2，3）兩點，與y軸交于點N．其頂點為D．

（1）拋物線及直線AC的函數關系式；

（2）設點M（3，m），求使MN+MD的值最小時m的值；

（3）若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點B，E為直線AC上的任意一點，過點E作EF∥BD交拋物線于點F，以B，D，E

Answer 1

解：（1）由拋物線y=﹣x²+bx+c過點A（﹣1，0）及C（2，3）得，

，解得。∴拋物線的函數關系式為。

設直線AC的函數關系式為y=kx+n，由直線AC過點A（﹣1，0）及C（2，3）得

，解得。∴直線AC的函數關系式為y=x+1。

（2）作N點關于直線x=3的對稱點N′，令x=0，得y=3，即N（0，3）。∴N′（6， 3）

由得D（1，4）。

設直線DN′的函數關系式為y=sx+t，則

，解得。X K  b1. C  om

∴故直線DN′的函數關系式為。

根據軸對稱的性質和三角形三邊關系，知當M（3，m）在直線DN′上時，MN+MD的值最小，∴。∴使MN+MD的值最小時m的值為。

（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2），

①當BD為平行四邊形對角線時，由B、C、D、N的坐標知，四邊形BCDN是平行四邊形，此時，點E與點C重合，即E（2，3）。

②當BD為平行四邊形邊時，∵點E在直線AC上，∴設E（x，x+1），則F（x，）。又∵BD=2∴若四邊形BDEF或BDFE是平行四邊形時，BD=EF。

∴，即。

若，解得，x=0或x=1（舍去），∴E（0，1）。

若，解得，，∴E或E。

綜上，滿足條件的點E為（2，3）、（0，1）、、。