Question

【題目】在ABCD中，∠ADC的平分線交直線BC于點E，交直線AB于點F．

（1）如圖①，證明：BE＝BF．

（2）如圖②，若∠ADC＝90°，O為AC的中點，G為EF的中點，試探究OG與AC的位置關系，并說明理由．

（3）如圖③，若∠ADC＝60°，過點E作DC的平行線，并在其上取一點K（與點F位于直線BC的同側），使EK＝BF，連接CK，H為CK的中點，試探究線段OH與HA之間的數量關系，并對結論給予證明．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）GO⊥AC;（3）AH=OH

【解析】

（1）根據平行線的性質得出∠E＝∠ADF，∠EFB＝∠EDC，再利用ED平分∠ADC，即可解答

（2）連接BG,AG，根據題意得出四邊形ABCD是矩形,再利用矩形的性質，證明△ABG≌△CEG,即可解答

（3）連接AK,BK,FK，先得出四邊形BFKE是菱形,，再利用菱形的性質證明△KBE,△KBF都是等邊三角形,再利用等邊三角形的性質得出△ABK≌△CEK，最后利用三角函數即可解答

（1）證明：如圖①中，因為四邊形ABCD為平行四邊形，

所以，AD∥EC，AB∥CD，

所以，∠E＝∠ADF，∠EFB＝∠EDC，

因為ED平分∠ADC，

所以，∠ADF＝∠EDC，

所以，∠E＝∠EFB，

所以，BE＝BF

(2)解:如圖⊙中,結論:GO⊥AC

連接BG,AG

∵四邊形ABCD是平行四邊形,∠ADC=90°,

四邊形ABCD是矩形,

∠ABC=∠ABE=90°,

由(1)可知:BE=BF,

∵∠EBF=90°,EG=FG,

∴∠E=45°,∠GBF=∠GBE=45°,BG=GE=GF,

∵∠DCE=90°

∴∠E=∠EDC=45°,

∴DC=CE=BA,

∵∠ABG=∠E=45°,AB=EC,BG=EG,

∴△ABG≌△CEG(SAS),

∵GA=GC

∴AO=OC.

∴GO⊥AC

(3)解:如圖⊙中,連接AK,BK,FK

∵BF=EK,BF∥EK,

∴四邊形BFKE是平行四邊形,

∵BF=BE,

∴四邊形BFKE是菱形,

∵邊形ABCD是平行四邊形,

∴∠ADC=∠ABC=60°,∠DCB=∠DAB=120°

∴∠EBF=120°,

∴∠KBE=∠KBF=60°

BF=BE=FK=EK,

∴△KBE,△KBF都是等邊三角形,

∴∠ABK=∠CEK=60°,∠FEB=∠FEK=30

∴∠CDE=∠CED=30°

∴CD=CE=BA,

∵BK=EK,

∴△ABK≌△CEK(SAS)

∴AK=CK,∠AKB=∠CKB

∴∠AKC=∠BKE=60°

∴△ACK是等邊三角形

∵OA=OC,CH=HK

∴AK=2OH,AH⊥CK,

∴AH=AK·cos30°= AK

∴AH= OH.