Question

如圖（1），已知圓O是等邊△ABC的外接圓，過O點作MN∥BC分別交AB、AC于M、N，且MN=a．另一個與△ABC全等的等邊△DEF的頂點D在MN上移動（不與點M、N重合），并始終保持EF∥BC，DF交AB于點P，DE交AC于點Q．
（1）試判斷四邊形APDQ的形狀，并進行證明；
（2）設DM為x，四邊形APDQ的面積為y，試探究y與x的函數關系式；四邊形APDQ的面積能取到最大值嗎？如果能，請求出它的最大值，并確定此時D點的位置．
（3）如圖（2），當D點和圓心O重合時，請判斷四邊形APDQ的形狀，并說明理由；你能發現四邊形APDQ的面積與△ABC的面積有何關系嗎？為什么？

Answer 1

解：（1）可知四邊形APDQ為平行四邊形
證明：由題知△ABC≌△DEF且△ABC
△DEF為等邊三角形
∴∠BAC=∠EDF=60°
又∵EF∥BC，MN∥BC
∴EF∥BC∥MN
∴∠MDF=∠DFE=60°，∠FED=∠EDN=60°
∠MNA=∠BCA=60°，∠QDN=∠QND=60°
∴△DQN為等邊三角形
∴∠DQN=∠PDQ=60°，
∴PD∥AQ
∴∠BAC=∠DQN=60°，
∴AP∥DQ
∴四邊形APDQ為平行四邊形．

（2）y=x（a-x）=-x²+ax=-（x-）²+a²
∴當x取時，即D點位于MN的中點位置時，四邊形APDQ的面積最大，且最大值為a²．

（3）當D點和圓心O重合時，四邊形APDQ為菱形，
理由：由（1）、（2）可知，△MPO，△QON為等邊三角形，且MO=ON，
所以△MPQ≌△QON．
因此OP=OQ，又因為四邊形APDQ為平行四邊形．
所以可知四邊形APDQ為菱形，
由題可知，S_△ABC=a²，而由（2）知S_{四邊形APDQ}=a²
∴，
∴S_{四邊形APDQ}=S_△ABC．
分析：（1）應該是平行四邊形，已知∠BAC=∠FOE=60°，那么證明∠BPD=∠CQD=60°就是關鍵，可根據FE∥MN∥BC，用內錯角相等，得出∠AMN=∠MDP=∠ANM=∠EDN=60°，那么可根據三角形的內角和得出∠DPM=∠DQN=60°，由此可得出四邊形APDQ的兩組對邊都平行，也就得出是平行四邊形的結論．
（2）要求四邊形的面積，就要知道一邊和這邊上的高分別是多少，告訴了DM=x，那么DN=a-x，根據（1）不難得出三角形MDP和DQN都是等邊三角形，那么DP=x，DP邊上的高可以用DN•sin60°來表示，那么可根據平行四邊形的面積公式求出y與x的函數關系式．然后可根據函數的性質得出面積的最大值和D的位置．
（3）應該是菱形，如果D，O重合，那么OM=ON，那么兩個等邊三角形MDP和DQN就應該全等，那么OP=OQ，因此平行四邊形APOQ應該是菱形，有三角形ABC的邊長又知道它是等邊三角形，那么它的面積就不難求出，（2）中已經得出了平行四邊形APOQ的面積，那么可以通過比較得出他們的關系．
點評：本題主要考查了平行四邊形，菱形的判定，全等三角形的判定和性質以及二次函數的綜合應用等知識點，通過特殊角來得出線段間的關系是解題的關鍵．