Question

已知拋物線y＝x²＋mx－2m²(m≠0)．

(1)求證：該拋物線與x軸有兩個不同的交點：

(2)過點P(0，n)作y軸的垂線交該拋物線于點A和點B(點A在點P的左邊)是否存在實數m、n，使得AP＝2PB？若存在，則求出m、n滿足的條件；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)要證拋物線與x軸有兩個不同的交點，實際上就是一元二次方程x2＋mx－2m2＝0有兩個不相等的實數根，只要證出b2－4ac＞0即可． 　　(2)由題意可知A、B兩點的縱坐標為n，代入拋物線解析式找出m、n的關系． 　　(1)證明：∵m2－4×1×(－2m)2＝m2＋8m2＝9m2＞0，∴拋物線與x軸有兩個不同的交點． 　　(2)解：存在． 　　由題意知：A、B兩點的縱坐標為n，代入拋物線的解析式得x2＋mx－2m2＝n，即x2＋mx－2m2－n＝0． 　　設A(x1，n)，B(x2，n)，則|x1|＝2|x2|，即x1＝±2x2． 　　① 　　消去x1、x2得m2＝－2m2－n，∴n＝(m≠0)． 　　② 　　消去x1，x2，得－2m2＝－2m2－n，解得n＝0，m≠0的實數． 　　所以m、n滿足的條件為n＝(m≠0)或n＝0，m≠0的實數．

提示：

命題立意：考查二次函數與一元二次方程的關系． 　　點評：此題綜合性強，難度較大，解決的關鍵是將二次函數問題轉化為一元二次方程問題，然后求解．