Question

如圖，正方形ABCD的邊長為1，以對角線AC為邊作第二個正方形ACEF，再以對角線AE為邊作第三個正方形AEGH，如此下去…記正方形ABCD的邊為a₁=1，按上述方法所作的正方形的邊長依次為a₂、a₃、a₄、…a_n，根據以上規律寫出的表達式________．

Answer 1

2^n-1
分析：求a₂的長即AC的長，根據直角△ABC中AB²+BC²=AC²可以計算，同理計算a₃、a₄．由求出的a₂=a₁，a₃=a₂…，a_n=，a_n-1=（）^n-1，可以找出規律，得到第n個正方形邊長的表達式．
解答：∵a₂=AC，且在直角△ABC中，AB²+BC²=AC²，
∴a₂=a₁=，
同理a₃=a₂=2，
a₄=a₃=2，
…
由此可知：a_n=（）^n-1，則=2^n-1．
故答案為：2^n-1．
點評：本題考查了正方形的性質，以及勾股定理在直角三角形中的運用，考查了學生找規律的能力，本題中找到a_n的規律是解題的關鍵．