Question

【題目】綜合與實(shí)踐：

如圖1，將一個(gè)等腰直角三角尺的頂點(diǎn)放置在直線上，，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．

觀察發(fā)現(xiàn)：

（1）如圖1．當(dāng)，兩點(diǎn)均在直線的上方時(shí)，

①猜測(cè)線段，與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

②直接寫出線段，與的數(shù)量關(guān)系；

操作證明：

（2）將等腰直角三角尺繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2位置時(shí)，線段，與又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出你的猜想，并寫出證明過(guò)程；

拓廣探索：

（3）將等腰直角三用尺繞著點(diǎn)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至圖3位置時(shí)，與交于點(diǎn)，若，，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）①． 理由見解析；②；（2）；證明見解析；（3）的長(zhǎng)度為．

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)作根據(jù)已知條件結(jié)合直角三角形性質(zhì)證明，從而得到四邊形為正方形，最后得出①，直接寫出②（2）過(guò)點(diǎn)作，先證明證明四邊形為正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)求解（3）過(guò)點(diǎn)作，證明，四邊形為正方形，再求解.

解：（1）①．

理由如下：

如圖，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

∵，，

∴．

又∵

∴

∴四邊形為矩形．

∴．

又∵，

∴．

即．

在和中，

∴．

∴，．

又∵四邊形為矩形，

∴四邊形為正方形．

∴．

∴．

②．

（2）

如圖，過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

∵，，

∴．

又∵，

∴．

∴四邊形為矩形．

∴．

又∵，

∴，

即．

在和中，

∴．

∴，．

又∵四邊形為矩形，

∴四邊形為正方形．

∴．

∵，

∴．

∴．

（3）

如圖，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，

同理可證，，四邊形為正方形．

∴，．

∵，

∴．

∴．

∵，，

∴，．

∵，

∴．

∴．

∴．