Question

如圖，在⊙O中，AD、BC相交于點E，OE平分∠AEC．
（1）求證：AB=CD；
（2）如果⊙O的半徑為5，AD⊥CB，DE=1，求AD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點O作OM⊥AD，ON⊥BC，從而得出OM=ON，根據垂徑定理可得出=，然后可得=，繼而得出結論．
（2）先判斷OM=ME，然后利用勾股定理得出AM的方程，解出后，根據AD=2AM，即可得出答案．
解答：證明：（1）過點O作OM⊥AD，ON⊥BC，

∵OE平分∠AEC，
∴OM=ON，
∴=，-=-，即，
∴AB=CD．
（2）∵OM⊥AD，
∴AM=DM，
∵AD⊥CB，OE平分∠AEC，
∴∠OEM=45°，
∴∠OME=45°，
∴∠OEM=∠EOM，
∴OM=ME，
在Rt△AOM中，OA²=OM²+AM²，即25=（AM-1）²+AM²，
解得：AM=4或AM=-3（舍去）
故AD的長為8．
點評：本題考查了勾股定理、垂徑定理及圓心角、弧、弦之間的關系，屬于基礎題，注意一些基本定理及性質的掌握．