Question

在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=4，把一個含60°角的三角板與這個菱形疊合，使三角板的60°角的頂點與點A重合，兩邊分別落在AB、AC上．將三角板繞點A按逆時針旋轉，設旋轉角為α
（1）如圖①，當0°＜α＜60°時，三角板的兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD相交于點E、F，請你通過觀察或測量寫出圖中現有的兩組相等線段（菱形的邊和對角線除外）．
（2）如圖②，當60°＜α＜120°時，三角板的兩邊分別與BC、CD的延長線相交于點E、F，你在（1）中得到的結論還成立嗎？若成立，請你選擇一組加以證明；若不成立，請你說明理由．
（3）當0°＜α＜60°時，三角板的兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD相交于點E、F，請你求出這個三角板與這個菱形重合部分的面積．

Answer 1

分析：（1）由圖可得，BE=CF，CE=FD，AE=AF；
（2）任取（1）中一組，通過證明三角形全等，即可證明；
（3）重合部分的面積即是△ABC的面積，又△ABC為等邊三角形，AB=4，易得高為2

3

，即可求得．

解答：解：（1）BE=CF，AE=AF，CE=DF．寫出兩組即可．

（2）（1）中的結論仍然成立，如圖②，BE=CF的結論仍然成立；
證明：∵在菱形ABCD中，∠BAD=120°，
∴∠BAC=∠ABC=∠ACD=∠CAD=60°，
∴AB=AC，
又由題意可知，∠EAF=60°，
∴∠BAE=∠CAF，
在△BAE和△CAF中，

∠ABE=∠ACF AB=AC ∠BAE=∠CAF

，
∴△BAE≌△CAF，
∴BE=CF．

（3）當0°＜α＜60°時，三角板與這個菱形重合部分的面積就是四邊形AECF的面積．
解：由題意可證△BAE≌△CAF，
∴四邊形AECF的面積就是△ABC的面積，
∵AB=4，
∴S_△ABC=

1

2

×4×2

3

=4

3

，
即重疊部分的面積是4

3

．

點評：本題考查了旋轉的性質、全等三角形的判定和性質及菱形的性質，證明線段相等，一般是通過證明三角形全等來解答．