Question

12、是否存在這樣的正整數n，使得3n²+7n-1能整除n³+n²+n+1？請說明理由．

Answer 1

分析：運用反證法得出（3n²+7n-1）整除{（n³+n²+n+1）+（3n²+7n-1）]=n（n²+4n+8），利用互素得出（3n²+7n-1）整除（n²+4n+8），得出3n²+7n-1≤n²+4n+8，從而確定n的取值．

解答：解：用反證法，假設存在一個正整數n，使得（3n²+7n-1），
整除n³+n²+n+1，則（3n²+7n-1）整除{（n³+n²+n+1）+（3n²+7n-1）]，
=n（n²+4n+8）．
∵n與3n²+7n-1互素，所以（3n²+7n-1）整除（n²+4n+8）．
從而，3n²+7n-1互素，所以，
（3n²+7n-1）整除（n²+4n+8）．
從而，3n²+7n-1≤n²+4n+8，即2n²+3n-9≤0，所以，n=1，但n=1并不滿足題目的要求，矛盾．
因此，滿足題目要求的正整數n不可能存在．

點評：此題主要考查了數的整除性，以及利用互素知識和反證法證明整除的條件．