Question

如圖，AB為⊙O的直徑，E為⊙O上一點，

BE

=2

AE

，四邊形ABCD為矩形，且AB=2BC，OF⊥CD于F，OD，EF相交于P點，下列結論：①

OF

PF

=

6

2

；②PD=PE；③OE⊥OD；④PD=4PO，其中正確的結論的個數(shù)有（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：過E作EN垂直DC交AB于點M，設EF與AB交于點H，設圓的半徑為R，根據(jù)題意，

BE

=2

AE

，可得出∠AOE=60°，繼而求得EM、MO的長度，根據(jù)三角形的相似定理可求得MH，繼而得出OH，利用相似三角形的性質可分別求出OP、DP、HP、PF，這樣即可判斷各結論正確與否．

解答：解：

過E作EN垂直DC交AB于點M，設圓的半徑為R，
∵AB為⊙O的直徑，

BE

=2

AE

，
∴∠AOE=60°，
∵EN⊥DC，四邊形ABCD為矩形，
∴EN⊥AB，
在Rt△EMO中，∠AOE=60°，則∠OEM=30°，
∴OM=

1

2

R，EM=

3

2

R，
易得四邊形OMNF為矩形，則MN=OF=BC=

1

2

AB=R，
∴NF=OF=

1

2

R，
∵△EMH∽△ENF，
∴

EM

EN

=

MH

NF

，即

3 2 R

( 3 2 +1)R

=

MH

1 2 R

，
解得：MH=

2 3 -3

2

R，則OH=OM-MH=（2-

3

）R，
在Rt△OHF中，HF=

OH2+OF2

=（

6

-

2

）R，
∵△OPH∽△DPF，
∴

HP

PF

=

OH

DF

=2-

3

，
∵HP+PF=HF=（

6

-

2

）R，
∴HP=（

2 6

3

-

2

）R，PF=

6

3

R，
∴

OF

PF

=

6

2

，故①正確；
同理可得：OP=

3 2 - 6

6

R，PD=

3 2 + 6

6

R，
在Rt△EMH中，EH=

EM2+MH2

=

6-3 3

=

3 2 - 6

3

，
則EP=EH+HP=DP=

3 2 + 6

6

R，故②正確；
∠AOE+∠AOD=60°+45°=105°，故③錯誤；

OP

PD

=

OH

DF

=2-

3

≠

1

4

，故④錯誤．
綜上可得①②正確，共2個．
故選B．

點評：本題屬于圓的綜合題，涉及了相似三角形的判定與性質、矩形的性質、勾股定理，綜合考察的知識點較多，解答本題要求同學們熟練掌握所學知識點，并靈活運用，難度較大．