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如圖,矩形ABCD中,AB=12,AD=9,E為BC上一點,且BE=4,動點F從點A出發沿射線AB方向以每秒3個單位的速度運動.連接DF,DE,EF.過點E作DF的平行線交射線AB于點H,設點F的運動時間為t(不考慮D、E、F在一條直線上的情況).
(1)填空:當t=______時,AF=CE,此時BH=______;
(2)當△BEF與△BEH相似時,求t的值;
(3)當F在線段AB上時,設△DEF的面積為S,△DEF的周長為C.
①求S關于t的函數關系式;
②直接寫出C的最小值.

【答案】分析:(1)在Rt△ABC中,利用勾股定理可求得AB的長,即可得到AD、t的值,從而確定AE的長,由DE=AE-AD即可得解.
(2)若△DEG與△ACB相似,要分兩種情況:①AG:DE=DH:GE,②AH:EG=DH:DE,根據這些比例線段即可求得t的值.(需注意的是在求DE的表達式時,要分AD>AE和AD<AE兩種情況)
解答:解:(1)∵BC=AD=9,BE=4,
∴CE=9-4=5
∵AF=CE
即:3t=5,
∴t=
∵EH∥DF
∴△DAF∽△EBH,
=
即:=
解得:BH=

當t=時,AF=CE,此時BH=

(2)由EH∥DF得∠AFD=∠BHE,
又∵∠A=∠CBH=90°
∴△EBH∽△DAF,
  即=
∴BH=     
當點F在點B的左邊時,
即t<4時,BF=12-3t
此時,當△BEF∽△BHE時: 即42=(12-3t)×
解得:t1=2 
此時,當△BEF∽△BEH時:有BF=BH,即12-3t=
解得:t2=
當點F在點B的右邊時,即t>4時,BF=3t-12
此時,當△BEF∽△BHE時: 即42=(3t-12)×
解得:t3=2+2

(3)①∵EH∥DF
∴△DFE的面積=△DFH的面積=FH•AD=(12-3t+t)×9=54- 
②直接寫出C的最小值=13+
點評:此題考查了勾股定理、軸對稱的性質、平行四邊形及梯形的判定和性質、解直角三角形、相似三角形等相關知識,綜合性強,是一道難度較大的壓軸題.
練習冊系列答案
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精英家教網如圖,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,M是BC的中點,DE⊥AM,E是垂足,則△ABM的面積為
 
;△ADE的面積為
 

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精英家教網如圖,矩形ABCD中,AD=a,AB=b,要使BC邊上至少存在一點P,使△ABP、△APD、△CDP兩兩相似,則a、b間的關系式一定滿足(  )
A、a≥
1
2
b
B、a≥b
C、a≥
3
2
b
D、a≥2b

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7、如圖,矩形ABCD中,AE⊥BD,垂足為E,∠DAE=2∠BAE,則∠CAE=
30
°.

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3
3
cm.

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(2002•西藏)已知:如圖,矩形ABCD中,E、F是AB邊上兩點,且AF=BE,連結DE、CF得到梯形EFCD.
求證:梯形EFCD是等腰梯形.

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同步練習冊答案
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