Question

已知拋物線y=ax²+3x過點C（4，0），頂點為D，點B在第一象限，BC垂直于x軸，且BC=2，直線BD交y軸于點A．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求點A的坐標；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點M，使四邊形AOMD和四邊形BCMD中，一個是平行四邊形，另一個是等腰梯形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將C（4，0）代入y=ax²+3x，運用待定系數法即可求出拋物線的解析式；
（2）先利用配方法求出（1）中拋物線的頂點D的坐標，再由點B在第一象限，BC垂直于x軸，且BC=2，可知B（4，2），設直線BD的解析式為y=kx+b，將B、D兩點的坐標代入，運用待定系數法求出直線BD的解析式，令x=0求出y的值，進而得到點A的坐標；
（3）由于點M在拋物線的對稱軸上，所以DM∥BC∥AO．分兩種情況討論：①當DM=BC時，四邊形BCMD是平行四邊形，再證明四邊形AOMD是等腰梯形；②當DM=AO時，四邊形AOMD是平行四邊形，再證明四邊形BCMD是等腰梯形．
解答：解：拋物線y=ax²+3x過點C（4，0），
∴16a+12=0，解得a=-，
∴拋物線的解析式為y=-x²+3x；

（2）∵y=-x²+3x=-（x²-4x）=-（x-2）²+3，
∴頂點D的坐標為（2，3）．
∵點B在第一象限，BC垂直于x軸，且BC=2，
∴B（4，2）．
設直線BD的解析式為y=kx+b，將B（4，2），D（2，3）代入，
得，解得，
∴直線BD的解析式為y=-x+4，
當x=0時，y=4，
∴點A的坐標為（0，4）；

（3）在拋物線的對稱軸上存在點M，使四邊形AOMD和四邊形BCMD中，一個是平行四邊形，另一個是等腰梯形．理由如下：
設點M的坐標為（2，y）．由AOMD和BCMD都是四邊形，得y＜3．
分兩種情況：
①∵DM∥BC，∴當DM=BC時，四邊形BCMD是平行四邊形．
∵D（2，3），DM=BC，
∴3-y=2，解得y=1，
∴當M的坐標為（2，1）時，四邊形BCMD是平行四邊形，
此時，∵OM==，AD==，
∴OM=AD，
又∵AO∥DM，AO≠DM，
∴四邊形AOMD是等腰梯形；
②∵DM∥AO，∴當DM=AO時，四邊形AOMD是平行四邊形．
∵D（2，3），DM=AO，
∴3-y=4，解得y=-1，
∴當M的坐標為（2，-1）時，四邊形AOMD是平行四邊形，
此時，∵CM==，BD==，
∴CM=BD，
又∵BC∥DM，BC≠DM，
∴四邊形BCMD是等腰梯形．
綜上可知，在拋物線的對稱軸上存在點M，使四邊形AOMD和四邊形BCMD中，一個是平行四邊形，另一個是等腰梯形，此時點M的坐標為（2，1）或（2，-1）．
點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有運用待定系數法求一次函數、二次函數的解析式，拋物線的頂點坐標，平行四邊形的判定與性質，等腰梯形的判定，綜合性較強，難度不大．運用數形結合及分類討論是解題的關鍵．