Question

（2007•安順）如圖，已知二次函數y=ax²-2ax+3的圖象與x軸交于點A，點B，與y軸交于點C，其頂點為D，直線DC的函數關系式為y=kx+b，又tan∠OBC=1．
（1）求二次函數的解析式和直線DC的函數關系式；
（2）求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據拋物線的解析式可得出C點的坐標為（0，3），即OC=3，然后可根據∠CBO的正切值求出OB的長，即可得出B點的坐標，然后將B點的坐標代入拋物線中即可求出拋物線的解析式．也就能求出A、D兩點的坐標，然后根據D、C的坐標，用待定系數法求出直線CD的解析式．
（2）已知了A、B的坐標，即可求出AB的長，而△ABC的高為OC，由此可根據三角形的面積公式求出△ABC的面積．
解答：解：（1）設x=0，代入y=ax²-2ax+3，則y=3，
∴拋物線和y軸的交點為（0，3）
∵tan∠OBC=1
∴OB=OC=3
∴B（3，0）
將B（3，0）代入y=ax²-2ax+3=9a-6a+3=0，
∴a=-1
∴y=-x²+2x+3
∴y=-（x-1）²+4
∴D（1，4），A（-1，0）
將D（1，4）和C（0，3）分別代入y=kx+b得：
∴k=1，b=3，
∴y=x+3；

（2）S_△ABC=×4×3=6．
點評：本題考查了待定系數法求二次函數和一次函數的解析式、解直角三角形等知識點．通過三角函數求出B點的坐標從而確定出拋物線的解析式是解題的關鍵．