Question

如圖，平面直角坐標系中的△ABO與⊙P，若P、A、B三點的坐標分別為P（2，0）、A（0，2

3

）、B（-

3

，

3

），且⊙P的半徑為1，完成下列問題：
（1）將△ABO繞點O順時針旋轉α角（α為銳角），使OA與⊙P相切，請在圖中畫出旋轉后的△A′B′O，并求出旋轉角α的大小；
（2）在（1）的情況下求A′、B′的坐標．

Answer 1

分析：（1）相切后可得∠PDO=90°，PD=1，OP=2，那么可得∠DOP的正弦值，進而判斷出∠DOP的度數，就得到∠AOA'的度數，即為旋轉角的度數；
（2）易得OA'=OA=2

3

，利用∠A'OE的三角函數值即可求得A'的橫縱坐標；利用三角函數求得直角三角形B'HP各邊的值，進而求得點B'的坐標．

解答：解：（1）連接DP，
∴∠PDO=90°，PD=1，OP=2，
∴sinDOP=PD：OP=0.5，
∴∠DOP=30°，
∴旋轉角α=90°-∠DOP=60°；

（2）做A'E⊥x軸于點E，
∵OA'=OA=2

3

，∠DOP=30°，
∴A'E=

3

，OE=3，
∴A′（3，

3

）；
連接B'D，易得B'DP在一條直線上，做BH⊥x軸于點H，那么
B'P=

3

+1；
∵∠DPO=90°-∠DOP=60°，
∴HP=

3 +1

2

，B'H=

3 +3

2

，
∴OH=2-HP=

3- 3

2

，
∴B′（

3- 3

2

，

3+ 3

2

）．

點評：連接圓心和切點構造直角三角形是常見的輔助線方法，注意利用特殊三角函數求解．