Question

圖1、2是兩個相似比為1：的等腰直角三角形，將兩個三角形如圖3放置，小直角三角形的斜邊與大直角三角形的一直角邊重合．
（1）圖3中，繞點D旋轉小直角三角形，使兩直角邊分別與AC、BC交于點E、F，如圖4，①求證：DE=DF．②求證：AE²+BF²=EF²；
（2）在圖3中，繞點C旋轉小直角三角形，使它的斜和CD延長線分別與交于點，如圖5，證明結論：AE²+BF²=EF²仍成立．

Answer 1

（1）①證明：如右圖4，連接CD，
∵圖1、2是兩個相似比為1：的等腰直角三角形，
∴放置后小直角三角形的斜邊正好是大直角三角形的直角邊，
∴D為AB中點，CD⊥AB，
∵∠ACB=90°，
∴CD=AD=BD，
∴∠4=∠A=45°，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△CDF和△ADE中
，
∴△CDF≌△ADE，
∴DE=DF．

②證明：∵由①知△CDF≌△ADE，
∴CF=AE，
與①證明△CDF≌△ADE類似可證△CED≌△BFD，
得出CE=BF，
∵在△CEF中，CE²+CF²=EF²，
∴AE²+BF²=EF²．

（2）證明：把△CFB繞點C順時針旋轉90°得到△CGA，如右圖5，連接GE，
∵根據旋轉得出：CF=CG，AG=BF，∠4=∠1，∠B=∠GAC=45°，
∴∠GAE=90°，
∵∠3=45°，
∴∠2+∠4=90°-45°=45°，
∴∠1+∠2=45°，
∵在△CGE和△CFE中
，
∴△CGE≌△CFE，
∴GE=EF，
∵在Rt△AGE中，AE²+AG²=GE²，
∴AE²+BF²=EF²．
分析：（1）①連接CD，得出AD=CD，求出∠1=∠3，證出△CDF≌△ADE即可；②由△CDF≌△ADE得出AE=CF，同理證△CED≌△BFD，推出BF=CE，在△CEF中根據勾股定理得出CE²+CF²=EF²，代入求出即可；
（2）把△CFB繞點C順時針旋轉90°得到△CGA，連接GE，求出∠GCE=∠ECF，CG=CF，根據SAS證△CGE≌△CFE，推出GE=EF，根據勾股定理求出即可．
點評：本題考查了等腰直角三角形，勾股定理，全等三角形的性質和判定，旋轉的性質的應用，通過做此題培養了學生的分析問題和解決問題的能力，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目，注意：此類問題證明過程類似．