Question

如圖，PA為⊙O的切線，A為切點，過A作OP的垂線AB，垂足為點C，交⊙O于點B，延長BO與⊙O交于點D，與PA的延長線交于點E．
（1）求證：PB為⊙O的切線；
（2）若tan∠ABE=

1

2

，求sin∠E．

Answer 1

分析：（1）要證PB是⊙O的切線，只要連接OA，再證∠PBO=90°即可；
（2）連接AD，證明△ADE∽△POE，得到

EA

EP

=

AD

OP

，設OC=t，則BC=2t，AD=2t，由△PBC∽△BOC，可求出sin∠E的值．

解答：（1）證明：連接OA，
∵PA為⊙O的切線，
∴OA⊥PA
∴∠PAO=90°，
∵OA=OB，OP⊥AB于C，
∴BC=CA，PB=PA，
∴△PAO≌△PBO，
∴∠PBO=∠PAO=90°，
∴PB為⊙O的切線；

（2）解：連接AD，
∵BD為直徑，∠BAD=90°由（1）知∠BCO=90°
∴AD∥OP，
∴△ADE∽△POE，
∴

EA

EP

=

AD

OP

，
由AD∥OC得AD=2OC
∵tan∠ABE=

1

2

，
∴

OC

BC

=

1

2

設OC=t，則BC=2t，AD=2t，由△PBC∽△BOC，
得PC=2BC=4t，OP=5t，
∴

EA

EP

=

AD

OP

=

2

5

．
可設EA=2，EP=5，則PA=3，
∵PA=PB∴PB=3，
∴sin∠E=

PB

EP

=

3

5

．

點評：本題考查了切線的判定以及相似三角形的判定和性質；能夠通過作輔助線將所求的角轉移到相應的直角三角形中，是解答此題的關鍵要證某線是圓的切線，對于切線的判定：已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．