Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，存在半徑為2，圓心為(0，2)的，點為上的任意一點，線段繞點逆時針旋轉90°得到線段，如果點在線段上，那么稱點為的“限距點”．

（1）在點中，的“限距點”為____________________________；

（2）如果過點且平行于軸的直線上始終存在的“限距點”，畫出示意圖并直接寫出的取值范圍；

（3）的圓心為，半徑為1，如果上始終存在的“限距點”，請直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）或．

【解析】

（1）分兩種情況：當軸時，相切于軸時，分別作出相應圖形即可判斷；

（2）以為圓心，為半徑作圓，如果過點且平行于軸的直線上始終存在的“限距點”，則在平行于軸并相切于的范圍內，據此求解即可；

（3）如果上始終存在的“限距點”，則相切于和，據此求解即可．

解：（1）如圖所示，

當軸時，點的坐標為（4，0），

相切于軸時，點的坐標為（0，4），

∴在點中，的“限距點”為，，

（2）如圖所示，以為圓心，為半徑作圓，過點作垂直于軸的直線交于，兩點，

則，過，兩點并相切于，且平行于軸的直線上始終存在的“限距點”，

∴，

∴點坐標為：（2，），點坐標為：（2，），

∴的取值范圍是：；

（3）如圖示，當的位置如圖所示時， 上始終存在的“限距點”，

則，點坐標為：（-3，2），

點坐標為：（，2），

點坐標為：（1，2），

點坐標為：（，2），

∴的取值范圍是：或．