Question

如圖，某港口有一燈塔A，燈塔A的正東有B、C兩燈塔，以BC為直徑的半圓區域內有若干暗礁，BC=18海里，一船在M處測得燈塔A、C分別在船的南偏西60°和南偏西15°方向，船沿MA方向行駛6海里恰好處在燈塔C的正北方向N處．
（1）求CN的長（精確到0.1海里）；
（2）若船繼續沿MA方向朝A行駛，是否有觸礁的危險？
（參考數值：=1.414，=1.732，sin15°=0.2588，cos15°=0.9658，tan15°=0.2680，cot15°=3.732）

Answer 1

解：（1）設BC的中點為O，作ND⊥CM，OE⊥AM，垂足分別為D、E．
在直角△MND中，ND=MN•sin∠NMD=6•sin45°=3（海里），
在直角△NCD中，CN=≈16.4海里．

（2）在直角△ANC中，AC=CN•cotA=16.4•cot30°=16.4×≈28.4海里，
∴AO=AC-BC=28.4-×18≈19.4（海里），
∴OE=AO≈×19.4=9.7（海里），
∵9.7＞9，
所以船繼續沿MA方向朝A行駛，沒有觸礁的危險．
分析：（1）設BC的中點是O，作ND⊥CM，OE⊥AM．求CN的長，可以在直角△NCD中利用三角函數求解．
（2）判斷是否有觸礁危險可以計算出OE的長，然后比較與9海里的大小關系就可以．
點評：解一般三角形，求三角形的邊或高的問題一般可以轉化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．