Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AD與⊙O相切于點A，過B點作BC∥OD交⊙O于點C，連接OC、AC，AC交OD于點E．
（1）求證：△COE∽△ABC；
（2）若AB=2，AD=

3

，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）由已知得∠OEC=∠BCA=90°，由OA=OC，得∠BAC=∠OCE，根據有兩對角對應相等的三角形相似可得到△COE∽△ABC；
（2）陰影部分的面積等于扇形OBC的面積減去三角形OBC的面積，分別求得扇形與三角形的面積相減即可．

解答：（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠BCA=90°，
又∵BC∥OD，
∴OE⊥AC，
即：∠OEC=∠BCA=90°．（2分）
又∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCE，（3分）
∴△COE∽△ABC；（4分）

（2）解：過點B作BF⊥OC，垂足為F．
∵AD與⊙O相切，
∴∠OAD=90°，
在Rt△OAD中，
∵OA=1，AD=

3

，
∴tan∠D=

3

3

，
∴∠D=30°，（5分）
又∵∠BAC+∠EAD=∠D+∠EAD=90°，
∴∠BAC=∠D=30°，
∠BOC=60°，（6分）
∴S_△OBC=

1

2

•OC•BF=

1

2

×1×1×sin60°=

3

4

，（7分）
∴S_陰=S_扇OCB-S_△OBC=

60π×12

360

-

3

4

=

π

6

-

3

4

．（8分）

點評：此題考查學生對相似三角形的判定，扇形的面積及解直角三角形的綜合運用能力．