Question

已知，△ABC中，AB=6，AB邊上的高為4．
（1）如圖1，四邊形EFGH為正方形，E、F在邊AB上，G、H分別在邊AC、BC上．求正方形的邊長；

（2）如圖2，三角形內有并排的兩個全等的正方形，它們組成的矩形DEFG的頂點D、E在△ABC的邊AB上，G、F分別在邊AC、BC上．正方形的邊長為

 

；
（3）如圖3，三角形內有并排的三個全等的正方形，它們組成的矩形有兩個頂點在△ABC的邊AB上，其它頂點分別在邊AC、BC上．正方形的邊長為

 

；
（4）如圖4，三角形內有并排的n個全等的正方形，它們組成的矩形的兩個頂點在△ABC的邊AB上，其它頂點分別在邊AC、BC上．正方形的邊長用含n的代數式表示

 

Answer 1

分析：先作輔助線，然后根據正方形的性質和勾股定理和相似三角形的判定和性質，設正方形的邊長為x則可以求出（1）的邊長即：

x

6

=

4-x

4

，（2）的邊長

2x

6

=

4-x

4

，（3）的邊長

3x

6

=

4-x

4

，從中得到規律就可得到（4）的邊長即

nx

6

=

4-x

4

．

解答：解：（1）過C作CM⊥AB，垂足為M，交GH于點N．
∴∠CMB=90°，
∵正方形EFGH，
∴GH∥AB，GH=GF，GF⊥AB，
∴∠CGH=∠A，∠CNH=∠CMB=90°．
∵∠GCH=∠ACB，
∴△CGH∽△CAB．（3分）
∴

CN

CM

=

GH

AB

．（4分）
∵GF=MN=GH，設GH=x，
∴CN=CM-MN=CM-GH=CM-x．
∵AB=6，CM=4，∴

x

6

=

4-x

4

解得x=2.4∴正方形的邊長為2.4． （5分）

（2）根據正方形的性質，
過C作CM⊥AB，垂足為M，交GH于點N．可知
△CGF∽△CAB．
∵AB=6，CM=4，∴

2x

6

=

4-x

4

解得：x=

12

7

故正方形的邊長為

12

7

（6分）

（3）根據正方形的性質，
過C作CM⊥AB，垂足為M，交GH于點N．可知
AB=6，CM=4，∴

3x

6

=

4-x

4

解得：x=

4

3

故正方形的邊長為

4

3

（7分）

（4）由此，當為n個正方形時

nx

6

=

4-x

4

所以x=

12

2n+3

（8分）

點評：需要對正方形的性質、直角三角形的勾股定理和相似三角形的判定和性質熟練地掌握．并把它運用到實際的題目中去．