Question

如圖，AB為⊙O的直徑，CD⊥AB于點E，交⊙O于點D，OF⊥BC于點F．
（1）請直接寫出三條與AC有關的正確結論；
（2）若∠D=30°，AC=2，求圓中陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）根據垂徑定理以及勾股定理直接得出即可；
（2）首先得出圓的半徑，進而求出∠BOC的度數，進而求出扇形BOC的面積，再求出△BOC的面積，即可得出答案．

解答：解：（1）AC²=AB²-CB²，AC²=AE²+CE²，AC=AD；

（2）連接CO，
∵AB為⊙O的直徑，CD⊥AB于點E，
∴AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC=30°，
∴∠CAO=60°，
∵AO=CO，
∴△ACO是等邊三角形，
∴CO=AC=2，
∴BC=

AB2-AC2

=2

3

，
∵BO=2，∠B=30°，
∴FO=1，
∴S_△OCB=

1

2

×FO×BC=

1

2

×1×2

3

=

3

，
∵∠B=30°，
∴∠BOF=60°，
∴∠BOC=120°，
∴S_扇形BOC=

120π×2  2

360

=

4

3

π；
∴圓中陰影部分的面積為：

4

3

π-

3

．

點評：此題主要考查了扇形的面積公式以及三角形面積求法和垂徑定理的應用，正確求出扇形面積是解題關鍵．