Question

如圖，平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，點A.B的坐標分別為（6，0），（6，8）。動點M、N分別從O、B同時出發，以每秒1個單位的速度運動。其中，點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動。過點N作NP⊥BC，交AC于P，連結MP。已知動點運動了x秒。
（1）P點的坐標為（____ ，_____ ）；（用含x的代數式表示）
（2）試求 MPA面積的最大值，并求此時x的值。
（3）請你探索：當x為何值時，MPA是一個等腰三角形？你發現了幾種情況？寫出你的研究成果。

Answer 1

（1）（6-x ， x ）；
（2）設MPA的面積為S，在MPA中，MA=6-x，MA邊上的高為 x，
    其中，0≤x≤6
    ∴S=（6-x）×x= (-x²+6x) = -  (x-3)²+6 
    ∴S的最大值為6， 此時x =3；
（3）延長ＮＰ交x軸于Ｑ，則有PＱ⊥ＯA
  ①若ＭP=ＰA ∵ＰＱ⊥ＭA ∴ＭQ=ＱA=x. ∴3x=6, ∴x=2；
  ②若ＭＰ=ＭA，則ＭＱ=6-2x，ＰＱ= x，ＰＭ=ＭA=6-x
   在ＲtPMQ中，∵PM²=MQ²+PQ²
   ∴(6-x) ²=(6-2x) ²+ (x) ²   ∴x=
  ③若PA=AM，∵PA=x，AM=6-x   ∴x=6-x   ∴x= 
  綜上所述，x=2，或x=，或x=。