Question

（2010•濱湖區二模）如圖，在△ABC中，AB=5cm，∠A=45°，∠C=30°，⊙O為△ABC的外接圓，P為弧BC上任一點，則四邊形OABP的周長的最大值是    cm．

Answer 1

【答案】分析：四過邊形OABP的周長為OA+AB+BP+OP，在這四條線段中OA、OC是半徑是定值，AB是定值5，故周長要想最大，則BP的值最大，其位置應在點C處，即求得BC的長為BP的最大值．點B作BD⊥AC于D，連接OB，OC，先根據直角三角形ABD求出BD的長，再根據直角三角形BDC求出BC的長，根據圓周角和圓心角之間的關系可求得△OBC是等腰直角三角形，可求出半徑的長，從而求得四邊形的最大周長．
解答：解：過點B作BD⊥AC于D，連接OB，OC
∵AB=5cm，∠A=45°，∠C=30°
∴BD=sin45°•AB=
BC=2BD=5cm
∵∠BOC=2∠A=90°
∴OB=OC=5cm
當點P在點C的位置時，四邊形OABP的周長最大為5+5+5+5=（15+5）cm．
點評：解決此類動點問題的關鍵是分析題意，找到不變的量和變化的量，通過確定變量的最值來確定周長的最值．如本題中四過邊形OABP的周長中OA，OC是半徑是定值，AB是定值5，故周長要想最大，則BP的值最大，其位置應在點C處，即求得BC的長為BP的最大值．