Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，∠CAB的平分線交⊙O于點D，過點D作AC的垂線交AC的延長線于點E，連接BC交AD于點F．
（1）猜想ED與⊙O的位置關系，并證明你的猜想；
（2）若AB=6，AD=5，求AF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，根據∠CAB的平分線交⊙O于點D，則=，依據垂徑定理可以得到：OD⊥BC，然后根據直徑的定義，可以得到OD∥AE，從而證得：DE⊥OD，則DE是圓的切線；
（2）首先證明△FBD∽△BAD，依據相似三角形的對應邊的比相等，即可求DF的長，繼而求得答案．
解答：解：（1）ED與⊙O的位置關系是相切．理由如下：
連接OD，
∵∠CAB的平分線交⊙O于點D，
∴=，
∴OD⊥BC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
即BC⊥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∴OD⊥DE，
∴ED與⊙O的位置關系是相切；

（2）連接BD．
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
在直角△ABD中，BD===，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
又∵∠AFC=∠BFD，
∴∠FBD=∠CAD=∠BAD
∴△FBD∽△BAD，
∴=
∴FD=
∴AF=AD-FD=5-=．
點評：本題考查了切線的判定定理，相似三角形的判定與性質，以及切割線定理，把求AF的長的問題轉化成求相似三角形的問題是關鍵．