Question

如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90^o，∠C＝60°，AD＝3cm，BC＝9cm．⊙O₁的圓心O₁從點(diǎn)A開(kāi)始沿折線A—D—C以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，⊙O₂的圓心O₂從點(diǎn)B開(kāi)始沿BA邊以cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，⊙O₁半徑為2cm，⊙O₂的半徑為4cm，若O₁、O₂分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts。

【小題1】（1）設(shè)經(jīng)過(guò)t秒，⊙O₂與腰CD相切于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F畫(huà)EF⊥DC，交AB于E，則EF=          。
【小題2】（2）過(guò)E畫(huà)EG∥BC，交DC于G，畫(huà)GH⊥BC，垂足為H．則∠FEG=             。
【小題3】（3）求此時(shí)t的值。
【小題4】（4）在0＜t≤3范圍內(nèi)，當(dāng)t為何值時(shí)，⊙O₁與⊙O₂外切？

Answer 1

【小題1】（1）EF＝4cm．………………1分
【小題2】（2）∠FEG =30⁰………………………2分
【小題3】（3）設(shè)點(diǎn)O₂運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E處時(shí)，⊙O₂與腰CD相切．依題意畫(huà)圖，如圖所示，
在直角△CGH中，∠C =60⁰，∠CG H=30⁰，GH=，    ∴CH=t，BH=GE=9－t………4分
在Rt△EFG中，∠FEG =30⁰，EF=4，GE=9－t
∴由勾股定理可得      EB＝GH＝cm．… 6分
所以t＝（）≈4.38秒．……7分
方法二，延長(zhǎng)EA、FD交于點(diǎn)P．通過(guò)相似三角形，也可求出EB長(zhǎng)．
方法三，連結(jié)ED、EC，根據(jù)面積關(guān)系，列出含有t的方程，直接求t．
不同解法可參照給分。
【小題4】（4）由于0<t≤3，所以，點(diǎn)O₁在邊AD上．...8分
如圖所示，連結(jié)O₁O₂，由兩圓外切可知O₁O₂＝6cm．…… 9分
由勾股定理得，，即．………………11分
解得t₁＝3，t₂＝6（不合題意，舍去）．……13分
所以，經(jīng)過(guò)3秒，⊙O₁與⊙O₂外切．…………14分

解析