Question

如圖①，在正方形ABCD中，P是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥BC垂足分別為，E、F，
（1）請(qǐng)你猜想EF和PD有何關(guān)系，并證明；
（2）如圖②若點(diǎn)P是對(duì)角線AC延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，其它條件不變，請(qǐng)根據(jù)已知補(bǔ)全圖形，并判斷（1）中你所猜想的結(jié)論還成立嗎？（不需要證明）

Answer 1

解：（1）PD與EF垂直且相等；
證明：過P作PM⊥CD，PN⊥AD，
∵AC是正方形對(duì)角線，
∴PM=PF，PE=PN，
∵PM⊥CD，PN⊥AD，
∴PNDM為矩形，
∴PN=DM，
∴PE=PN=DM，
∵PM=PF，PE=PN=DM，∠PMD=∠FPE=90°，
∴△PMD≌△FPE，
∴PD=EF，∠PEF=∠PDM，∠DPM=∠EFP，
延長(zhǎng)DP與EF相交于G，
∵∠DPM=∠EPG，∠PEF=∠PDM
∴∠EPG+∠PEF=90°，
∴EF⊥PD；
（2）畫圖，（1）中所猜想的結(jié)論仍然成立．