Question

（2009•大興區(qū)二模）已知，拋物線y=ax²+bx+c過(guò)點(diǎn)A（-3，0），B（1，0），C（0，），此拋物線的頂點(diǎn)為D．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）把△ABC的繞AB的中點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°，得到四邊形AEBC．
①求E點(diǎn)的坐標(biāo)；
②試判斷四邊形AEBC的形狀，并說(shuō)明理由．
（3）試探求：在直線BC上是否存在一點(diǎn)P，使得△PAD的周長(zhǎng)最小？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式．
（2）①△ABC繞AB的中點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180度．可知點(diǎn)E和點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng)．則E的坐標(biāo)就可以求出．
②根據(jù)四邊形AEBC的對(duì)角線互相平分，可知是平行四邊形．Rt△ACO中，OC=，OA=3得到∠ABE=30°，
在Rt△COB中OC=，OB=1得到∠CBO=60°，則∠CBE=∠CBO+∠ABE=60°+30°=90°因而ABEC是矩形．
（3）點(diǎn)A與點(diǎn)A₁也關(guān)于直線BC對(duì)稱(chēng)．連接A₁D，與直線BC相交于點(diǎn)P，連接PA，則△PAD的周長(zhǎng)最小．求出BC的解析式，A₁D的解析式，兩直線的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)．
解答：解：（1）∵y=ax²+bx+c過(guò)C（0，），
∴
又y=ax²+bx+c過(guò)點(diǎn)A（-3，0）B（1，0），
∴
∴，
∴此拋物線的解析式為．

（2）①△ABC繞AB的中點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180度．可知點(diǎn)E和點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng)，
∴M（-1，0），C（0，），
∴E（-2，-）．
②四邊形AEBC是矩形．
∵△ABC繞AB的中點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°得到四邊形AEBC，
∴△ABC≌△AEB
∴AC=EB，AE=BC，
∴AEBC是平行四邊形在Rt△ACO中，OC=，OA=3，
∴∠CAB=30°
∵AEBC是平行四邊形
∴AC∥BE，
∴∠ABE=30°在Rt△COB中
∵OC=，OB=1，
∴∠CBO=60°，
∴∠CBE=∠CBO+∠ABE=60°+30°=90°ABEC是矩形．

（3）假設(shè)在直線BC上存在一點(diǎn)P，使△PAD的周長(zhǎng)最小．
因?yàn)锳D為定值，所以使△PAD的周長(zhǎng)最小，就是PA+PD最小；
∵AEBC是矩形，
∴∠ACB=90°，
∴A（-3，0）關(guān)于點(diǎn)C（0，）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A₁（3，2）．
點(diǎn)A與點(diǎn)A₁也關(guān)于直線BC對(duì)稱(chēng)．
連接A₁D，與直線BC相交于點(diǎn)P，連接PA，則△PAD的周長(zhǎng)最小．
∵B（1，0）、C（0，）
∴BC的解析式為
∵A₁（3，2）、D（-1，）
∴A₁D的解析式為．
∴，
∴，
∴P的坐標(biāo)為（）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要靠了待定系數(shù)法求直線的解析式，以及函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法．