Question

如圖，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點(diǎn)A，OA=5，OA與⊙O相交于點(diǎn)

P，AB與⊙O相切于點(diǎn)B，BP的延長(zhǎng)線交直線l于點(diǎn)C．

（1）試判斷線段AB與AC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（2）若PC=，求⊙O的半徑和線段PB的長(zhǎng)；

（3）若在⊙O上存在點(diǎn)Q，使△QAC是以AC為底邊的等腰三角形，求⊙O的半徑r的取值范圍．

Answer 1

解：（1）AB=AC。理由如下：

連接OB。

∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，∴∠OBA=∠OAC=90°。

∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPB=90°。

∵OP=OB，∴∠OBP=∠OPB。

∵∠OPB=∠APC，∴∠ACP=∠ABC。

∴AB=AC。

（2）延長(zhǎng)AP交⊙O于D，連接BD，

設(shè)圓半徑為r，則由OA=5得，OP=OB=r，PA=5－r。

又∵PC=，

∴ 。

由（1）AB=AC得，解得：r=3。

∴AB=AC=4。

∵PD是直徑，∴∠PBD=90°=∠PAC。

∵∠DPB=∠CPA，∴△DPB∽△CPA。∴，即，解得。

 （3）作線段AC的垂直平分線MN，作OE⊥MN，

則OE=AC=AB=。

又∵圓O要與直線MN交點(diǎn)，∴OE=≤r，

∴r≥。

又∵圓O與直線l相離，∴r＜5。

∴⊙O的半徑r的取值范圍為≤r＜5．

（2）延長(zhǎng)AP交⊙O于D，連接BD，設(shè)圓半徑為r，則OP=OB=r，PA=5－r，根據(jù)AB=AC推出

，求出r，證△DPB∽△CPA，得出 ，代入求出PB即可。

（3）根據(jù)已知得出Q在AC的垂直平分線上，作出線段AC的垂直平分線MN，作OE⊥MN，求出OE＜r，求出r范圍，再根據(jù)相離得出r＜5，即可得出答案。