Question

（2006•眉山）如圖：∠MON=90°，在∠MON的內部有一個正方形AOCD，點A、C分別在射線OM、ON上，點B₁是ON上的任意一點，在∠MON的內部作正方形AB₁C₁D₁．
（1）連續D₁D，求證：∠D₁DA=90°；
（2）連接CC₁，猜一猜，∠C₁CN的度數是多少？并證明你的結論；
（3）在ON上再任取一點B₂，以AB₂為邊，在∠MON的內部作正方形AB₂C₂D₂，觀察圖形，并結合（1）、（2）的結論，請你再做出一個合理的判斷．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據已知利用SAS判定△OAB₁≌△DAD₁，從而得到∠ADD₁=∠O=90°；
（2）作C₁H⊥ON于H．作C₁G⊥CD₁于G，那么C₁G=CH，只要證得△C₁GD₁≌△C₁B₁H，得出C₁G=C₁H；即可得出三角形CC₁H是等腰直角三角形，從而得出∠C₁CN的度數．
（3）和（1）（2）均一樣，求法和證法都相同．
解答：（1）證明：∵∠D₁AD+∠B₁AD=90°，∠OAB₁+∠B₁AD=90°，
∴∠B₁AO=∠D₁AD，
∵AD₁=AB₁，AO=AD，
∴△OAB₁≌△DAD₁，∴∠D₁DA=∠O=90°；（D₁，D，C在同一條直線上）．


（2）解：猜想∠C₁CN=45°．
證明：作C₁H⊥ON于H．作C₁G⊥CD₁于G；
則有C₁G=CH．
∵∠C₁D₁C+∠AD₁D=90°，∠C₁B₁H+∠AB₁O=90°
∴∠C₁D₁C=∠C₁B₁H，
∵C₁D₁=B₁C₁，∠D₁C₁E=∠C₁HB₁=90°，
∴△C₁GD₁≌△C₁B₁H，
∴C₁G=C₁H，
又∵CH=C₁G，
∴直角三角形CHC₁是個等腰直角三角形，
∴∠C₁CN=45°．


（3）解：作圖；
得∠ADD₂=90°（∠ADD₂=90°、∠C₂CN=45°均可）．
點評：本題考查了正方形的性質和全等三角形的應用等，本題中利用全等三角形得出所求的條件是解題的關鍵．