Question

【題目】在平面直角坐標系中．拋物線y=﹣x2+4x+3與y軸交于點A，拋物線的對稱軸與x軸交于點B，連接AB，將△OAB繞著點B順時針旋轉得到△O'A'B．

（1）用配方法求拋物線的對稱軸并直接寫出A，B兩點的坐標；

（2）如圖1，當點A'第一次落在拋物線上時，∠O'BO=n∠OAB，請直接寫出n的值；

（3）如圖2，當△OAB繞著點B順時針旋轉60°，直線A'O'交x軸于點M，求△A'MB的面積；

（4）在旋轉過程中，連接OO'，當∠O'OB=∠OAB時．直線A'O'的函數表達式是　　．

Answer 1

【答案】（1）對稱軸為x=2，A（0，3），B（2，0）；（2）n=2；（3）；（4）．

【解析】

（1）配方寫成頂點式即可得到對稱軸，從而求出B的坐標；
（2）利用拋物線的對稱性易知△BFA′≌△BOA，從而推導出∠O'BO與∠OAB的關系；
（3）延長A'O'與x軸交于M，構造特殊的直角三角形，先求出MO′，再求△A′MB的面積；
（4）連接OO'與AB交于C，作O'E⊥x軸于E，可得△AOB∽△OEO′～△OCB，再利用對應邊成比例可求出OC，O′E，OE，再求出A′O′的解析式．

（1）y=﹣x2+4x+3=﹣（x﹣2）2+7

所以對稱軸為x=2，所以B（2，0）

當x=0時，y=3，

所以A（0，3）；

（2）作A'F⊥x軸于F，由于二次函數的對稱性，

得OB=FB，AO=A'F

∵∠AOB=∠A'FB=90°，

∴△BFA'≌△BOA，設∠OAB＝α，

則∠O′BO＝180°(∠FBA′+∠O′BA′)＝180°(90°－α+90°－α)＝2α，

所以n=2；

（3）延長A'O'與x軸交于M，

∵∠MBO′＝60°，O′B＝OB＝2，

∴MO′＝2
∴S△A′MB＝(MO′+O′A′)O′B=2+3；
（4）連接OO'與AB交于C，作O'E⊥x軸于E，

所以△AOB∽△OEO′～△OCB，
所以 ，

∴OC＝ ，

同理可得：O′E＝，OE＝，
所以O′()，B(2，0)，，
所以kO′A′＝，
所以A′O′：y＝x+3．