Question

為喜迎“五一”佳節，某食品公司推出一種新禮盒，每盒成本20元，在“五一”節前20天進行銷售后發現，該禮盒在這20天內的日銷售量p（盒）與時間x（天）的關系如下表：

時間x（天）	第1天	第2天	第3天	第4天	第5天	第…天
日銷售量p（盒）	78	76	74	72	70	…

在這20天內，前10天每天的銷售價格y₁（元/盒）與時間x（天）的函數關系式為y₁=

1

4

x+25（1≤x≤10，且x為整數），后10天每天的銷售價格y₂（元/盒）與時間x（天）的函數關系式為y₂=-

1

2

x+40（11≤x≤20，且x為整數），
（1）直接寫出日銷售量p（盒）與時間x（天）之間的函數關系式；
（2）請求出這20天中哪天的日銷售利潤最大？最大日銷售利潤是多少？
（3）“五一”當天，銷售價格（元/盒）比第20天的銷售價格降低a元（a＞0），而日銷售量比第20天提高了a盒，日銷售額比前20天中的最大日銷售利潤多284元，求a的值．
注：銷售利潤=（售價-成本價）×銷售量．

Answer 1

（1）設日銷售量p（盒）與時間x（天）之間的函數關系式為p=kx+b，
把（1，78），（2，76）代入得：

78=k+b 76=2k+b

，
k=-2，b=80，
即日銷售量p（盒）與時間x（天）之間的函數關系式為p=-2x+80．
          
（2）設日銷售利潤為w元，
當1≤x≤10時，w=（-2x+80）（

1

4

x+25-20）=-

1

2

（x-10）²+450；
當11≤x≤20 時，w=（-2x+80）（-

1

2

x+40-20）=（x-40）²，
∵w=-

1

2

（x-10）²+450（1≤x≤10）的對稱軸為x=10，
∴當x=10時，w取得最大值，最大值是450；
∵w=（x-40）²（11≤x≤20）的對稱軸為x=40，且當11≤x≤20時w隨x的增大而減小，
∴當x=11時，w取得最大值，最大值是841；
綜合上述：當x=11時，利潤最大，最大值是841元，
即第11天的利潤最大，最大值是841元．

（3）當x=20時，銷售價格y₂=-

1

2

x+40=30，
日銷量p=-2x+80=40，
則（30-a）（40+a）=841+284，
整理得：a²+10a-75=0
解得：a=5或a=-15（不合題意，舍去），
即a=5．