Question

如圖：已知在△ABC中，AB=AC，D、E、F分別為AB、BC、CA上的中點．
（1）求證：四邊形ADEF是菱形；
（2）若AB=13，BC=10，求四邊形ADEF的面積．

Answer 1

（1）證明：∵D、E、F分別為AB、BC、CA上的中點．
∴DEAC，EFAB，
∴四邊形ADEF是平行四邊形．
又∵AB=AC，
∴DE=EF，
∴平行四邊形ADEF的菱形；

（2）如圖，連接AE、DF交于點O．
∵四邊形ADEF是菱形，
∴AE⊥DF，OA=AE，OD=DF．
∵AD=AB=，DF=BC=5，
∴在直角△ADO中，由勾股定理知OA===6，
∴AE=2OA=12，
∴菱形ADEF的面積=DF•AE=5×12=30，即四邊形ADEF的面積是30．
分析：（1）利用三角形中位線定理判定四邊形ADEF是菱形；
（2）菱形ADEF的面積等于該菱形兩對角線乘積的一半．
點評：本題考查了勾股定理、三角形中位線定理、等腰三角形的性質以及菱形的判定與性質．菱形是鄰邊相等的平行四邊形．