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在直角坐標(biāo)平面中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),二次函數(shù)y=-x2+(k-1)x+4的圖象與y軸交于點(diǎn)A,與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B,且S△OAB=6.
(1)求點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)求此二次函數(shù)的解析式;
(3)如果點(diǎn)P在x軸上,且△ABP是等腰三角形,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】分析:(1)令x=0,即可求得點(diǎn)A的坐標(biāo),由△AOB的面積公式可求得OB的長(zhǎng),進(jìn)而得到點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式,可求得k的值,確定出拋物線解析式;
(3)若△ABP是等腰三角形,且點(diǎn)P在x軸上,故點(diǎn)P的位置有三種情況,由等腰三角形的性質(zhì)分別求得即可
解答:解:(1)由解析式可知,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,4).(1分)
∵S△OAB=×BO×4=6
BO=3.所以B(3,0)或(-3,0),
∵二次函數(shù)與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-3,0);(2分)

(2)把點(diǎn)B的坐標(biāo)(-3,0)代入y=-x2+(k-1)x+4,
得-(-3)2+(k-1)×(-3)+4=0.
解得k-1=-.(4分)
∴所求二次函數(shù)的解析式為y=-x2-x+4.(5分)

(3)因?yàn)椤鰽BP是等腰三角形,
所以:①如圖1,當(dāng)AB=AP時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,0)(6分)
②如圖2,當(dāng)AB=BP時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0)或(-8,0)(8分)
③如圖,3,當(dāng)AP=BP時(shí),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,0)根據(jù)題意,得=|x+3|.
解得x=
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,0)(10分)
綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,0),(2,0),(-8,0),(,0).
點(diǎn)評(píng):本題考查了拋物線與坐標(biāo)軸的關(guān)系,等腰三角形的性質(zhì),注意當(dāng)△ABP是等腰三角形時(shí),點(diǎn)P的位置有三種情況.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,在直角坐標(biāo)平面中,Rt△ABC的斜邊AB在x軸上,直角頂點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上,cos∠ABC=
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,點(diǎn)P在線段OC上,且PO、OC的長(zhǎng)是方程x2-15x+36=0的兩根.
(1)求P點(diǎn)坐標(biāo);
(2)求AP的長(zhǎng);
(3)在x軸上是否存在點(diǎn)Q,使以A、Q、C、P為頂點(diǎn)的四邊形是梯形?若存在,請(qǐng)求出直線PQ的解析式;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(2012•長(zhǎng)寧區(qū)二模)如圖,在直角坐標(biāo)平面中,等腰△ABC的頂點(diǎn)A在第一象限,B(2,0),C(4,0),△ABC的面積是3.
(1)若x軸表示水平方向,設(shè)從原點(diǎn)O觀測(cè)點(diǎn)A的仰角為α,求tanα的值;
(2)求過(guò)O、A、C三點(diǎn)的拋物線解析式,并寫出拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).

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(2,-6)
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在直角坐標(biāo)平面中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與y軸的負(fù)半軸相交于點(diǎn)C(如圖),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-3),且BO=CO.
(1)求出B點(diǎn)坐標(biāo)和這個(gè)二次函數(shù)的解析式;
(2)求△ABC的面積;
(3)若P是拋物線對(duì)稱軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求當(dāng)PA+PC的值最小時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo).

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