Question

（2002•濟南）在等腰三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，已知a=3，b和c是關于x的方程x²+mx+2-m=0的兩個實數根，求△ABC的周長．

Answer 1

【答案】分析：等腰三角形ABC中a可能是底邊，也可能是腰，應分兩種情況進行討論，
①當a是腰時，則方程有一個根是3，代入即可求得m的值，從而求解；
②當a是底邊時，方程有兩個相等的根，根據一元二次方程根的情況與判別式△的關系，從而求得其周長．
解答：解：∵b、c是關于x的方程x²+mx+2-m=0的兩個實數根，
∴b+c=-m，bc=2-m，
當a為其腰時，則b=a，或c=a，
∴方程必有一個根為3，
代入方程得：9+3m+2-m=0，
解得m=-，
則b+c=-m=，
則周長是a+b+c=3+=；
當a為其底時，b=c，原方程有兩個相等的實數根，
∴△=m²-4（2-m）=0，
∴m₁=-4，m₂=2＞0（舍去），
∵b+c=-m=4＞a，bc=4＞0，
∴m=-4符合題意，
∴a+b+c=3+4=7．
∴△ABC的周長為或7．
點評：解答此題要知道一元二次方程根的情況與判別式△的關系和一元二次方程根與系數的關系，三角形的三邊關系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；
（3）△＜0?方程沒有實數根；
（4）x₁+x₂=-；
（5）x₁•x₂=．
三角形的三邊關系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．