Question

在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠A=90°．


操作示例
小明取直角梯形ABCD的非直角腰CD的中點P，過點P作PE∥AB，剪下△PEC（如圖1），并將△PEC繞點P按逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°到△PFD的位置，拼成新的圖形（如圖2）．
（Ⅰ）思考與實踐：
（1）操作后小明發(fā)現(xiàn)，拼成的新圖形是矩形，請幫他說明理由；
（2）類比圖2的剪拼方法，請你在圖3畫出剪拼成一個平行四邊形的示意圖．
（Ⅱ）發(fā)現(xiàn)與運用：
小白發(fā)現(xiàn)：在一個四邊形中，只要有一組對邊平行，就可以剪拼成平行四邊形．
請你選擇下面兩題中的一題作答：（多做不加分，兩題都做按第一題計分）
（1）如圖4，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中點，EF⊥AB于點F，AB=5，EF=4，求梯形ABCD的面積．
（2）如圖5的多邊形中，AE=CD，AE∥CD，能否沿一條直線進行剪切，拼成一個平行四邊形？若能，請你在圖中畫出剪拼的示意圖并作必要的文字說明；若不能，簡要說明理由．

Answer 1

分析：利用旋轉(zhuǎn)后三角形的一條變與原來的在同一條直線上，構(gòu)成于原來一邊平行即可得出平行四邊形．

解答：解：（Ⅰ）（1）△PEC繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)180°到△PFD的位置，易知PE與PF在同一條直線上，所以EF∥AB．又因為在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C+∠ADP=180°，則∠FDP+∠ADP=180°，所以AD和DF在同一條直線上，那么構(gòu)成的新圖形是一個四邊形，又因為AD∥BC，所以四邊形ABEF是一個平行四邊形，∠A=90°，拼成的新圖形是矩形．

（2）如圖所示取AD的中點P，過點P做PE∥BC交AB于E，交CD的延長線于F

△PEA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)180°到△PFD的位置，易知PE與PF在同一條直線上，所以EF∥BC，由于圖中AB∥CD
所以圖中四邊形BCFE是平行四邊形．

（Ⅱ）（1）如下圖所示：找出AB的中點M連接ME，作AN⊥BC于N

∵M，E分別是AB和DC的中點，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC
∴2EM=AD+BC，∠ABC=∠FME
在Rt△EFM中，EM=

EF

sin∠FME

=

EF

sin∠ABC

在Rt△ABN中，AN=AB×sin∠ABC
梯形ABCD的面積=

1

2

×（AD+BC）×AN=

1

2

×2EM×AN=

EF

sin∠ABC

×AB×sin∠ABC=4×5=20；

（2）能．

分別取AB、BC的中點F、H，連接FH并延長分別交AE、CD于點M、N，將△AMF與△CNH一起拼接到△FBH位置．

點評：本題考查利用尺規(guī)作圖，作與原來三角形相等的或者旋轉(zhuǎn)后在同一直線上來替代原來的三角形得到想要圖形的能力．