Question

如圖，已知△ABC，P為內角平分線AD，BE，CF的交點，過點P作PG⊥BC于G，試說明∠BPD與∠CPG的大小關系，并說明理由．

Answer 1

分析：利用AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，得出∠BAD=

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∠BAC，∠ABE=

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∠ABC，∠BCF=

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∠ACB，再利用三角形的外角意義得出∠BPD=∠BAD+∠ABE等量代換得出∠BPD=90°-

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∠ACB；再利用PG⊥BC，得出三角形CPG是直角三角形，利用三角形的內角和表示出∠CPG=90°-

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∠ACB，證明結論成立．

解答：∠BPD=∠CPG
證明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠BAD=

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∠BAC，∠ABE=

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∠ABC，∠BCF=

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∠ACB，
∴∠BPD=∠BAD+∠ABE=

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（∠BAC+∠ABC），
∵∠BAC+∠ABC=180-∠ACB，
∴∠BPD=

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（180-∠ACB）=90°-

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∠ACB；
∵PG⊥BC，
∴∠PGC=90°，
∴∠BCE+∠CPG=180°-∠PGC=90°，
∴∠CPG=90-∠BCE=90°-

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∠ACB，
∴∠BPD=∠CPG．

點評：此題考查角平分線的性質，三角形內角和定理，三角形外角的意義，垂直的性質等知識點．