Question

已知二次函數y=ax²（a≥1）的圖象上兩點A，B的橫坐標分別為-1，2，O是坐標原點，如果△AOB是直角三角形，則△AOB的周長為

 

．

Answer 1

分析：利用勾股定理求得OA、OB、AB的長，再分別討論以那一條邊為斜邊，進一步利用勾股定理解答即可．

解答：解：如圖，作AF⊥OD，BD⊥OF，AE⊥BD，
點A（-1，a），B（2，4a），由勾股定理得，
OA=

a2+1

，OB=

4+16a2

，
∵AE=1+2=3，BE=BD-DE=4a-a=3a，
AB=

AE 2+BE 2

=

9+9a2

，
因為a≥1，故OA邊最小，不能為斜邊；
（1）若OB為斜邊，則OB²=OA²+AB²，
即4+16a²=a²+1+9+9a²，
解得a₁=1，a₂=-1（不合題意，舍去），
△AOB的周長=

2

+

20

+

18

=4

2

+2

5

；

（2）若AB為斜邊，則AB²=OA²+OB²，
即9+9a²=a²+1+4+16a²，
解得a=±

2

2

（a≥1，不合題意，舍去）；
綜上所知，△AOB的周長為（4

2

+2

5

）．
故填：（4

2

+2

5

）．

點評：此題主要考查勾股定理的應用以及滲透分類討論思想．