Question

如圖，四邊形ABCD是矩形，E是BD上的一點，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，點G是BC、AE延長線的交點，AG與CD相交于點F．
（1）求證：四邊形ABCD是正方形；
（2）當AE=2EF時，判斷FG與EF有何數量關系？并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）由∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，利用三角形外角的性質，即可得∠CBE=∠ABE，又由四邊形ABCD是矩形，即可證得△ABD與△BCD是等腰直角三角形，繼而證得四邊形ABCD是正方形；
（2）由題意易證得△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE，△ADF∽△GCF，由AE=2EF，利用相似三角形的對應邊成比例，即可求得FG=3EF．
解答：（1）證明：∵∠CED是△BCE的外角，∠AED是△ABE的外角，
∴∠CED=∠CBE+∠BCE，∠AED=∠BAE+∠ABE，
∵∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，
∴∠CBE=∠ABE，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BCD=∠BAD=90°，AB=CD，
∴∠CBE=∠ABE=45°，
∴△ABD與△BCD是等腰直角三角形，
∴AB=AD=BC=CD，
∴四邊形ABCD是正方形；

（2）當AE=2EF時，FG=3EF．
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE，
∵AE=2EF，
∴BE：DE=AE：EF=2，
∴BG：AD=BE：DE=2，
即BG=2AD，
∵BC=AD，
∴CG=AD，
∵△ADF∽△GCF，
∴FG：AF=CG：AD，
即FG=AF=AE+EF=3EF．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、矩形的性質，正方形的判定與性質、等腰直角三角形的性質以及三角形外角的性質．此題難度適中，注意數形結合思想的應用．