Question

如圖，AB是半圓O的直徑，C為半圓上一點，∠CAB的角平分線AE交BC于點D，交半圓O于點E．若AB=10，tan∠CAB=

3

4

，求線段BC和CD的長．

Answer 1

分析：根據圓周角定理及三角函數可求得AC與BC的長，再根據角的平分線的性質及相似三角形的判定得到△DBF∽△ABC．由相似三角形的對應邊成比例即可求得CD的值．

解答：解：∵AB是半圓O的直徑，
∴∠C=90°．
∵tan∠CAB=

3

4

，
∴

BC

AC

=

3

4

．
設AC=4k，BC=3k，
∵AC²+BC²=AB²，AB=10，
∴（4k）²+（3k）²=100．
∴k₁=2，k₂=-2（舍去）．
∴AC=8，BC=6．
過點D作DF⊥AB于F，
∵AD是∠CAB的角平分線，
∴CD=DF．
∵∠DFB=∠ACB=90°，∠DBF=∠ABC，
∴△DBF∽△ABC．
∴

DB

AB

=

DF

AC

．
即

6-CD

10

=

CD

8

．
∴CD=

8

3

．

點評：此題主要考查圓周角定理，角直角三角形及相似三角形的判定方法等知識的綜合運用．