Question

如圖，矩形ABCD中，AD=6，AB=，點O是AD的中點，點P在DA的延長線上，且AP=3．一動點E從P點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿射線PD勻速運動；另一動點F從D點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿DO勻速運動，到達(dá)O點后，立即以原速度沿OD返回．已知點E、F同時出發(fā)，當(dāng)兩點相遇時停止運動．在點E、F的運動過程中，以EF為邊作等邊△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射線PD的同側(cè)，設(shè)運動的時間為t秒（t≥0）．
（1）當(dāng)?shù)冗叀鱁FG的邊EG恰好經(jīng)過點B時，運動時間t的值為______；
（2）當(dāng)?shù)冗叀鱁FG的頂點G恰好落在BC上時，運動時間t的值為______；
（3）在整個運動過程中，設(shè)等邊△EFG和矩形ABCD重疊部分的面積為S，請寫出S與t 之間的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)邊EG恰好經(jīng)過點B時，∠DEB=60°，AE=3-t，在Rt△DEB中，解直角三角形可求t的值；
（2）當(dāng)?shù)冗叀鱁FG的頂點G恰好落在BC上時，等邊△EFG的高=AB=，可求此時等邊△EFG的邊長，從而可求t的值；
（3）按照等邊△EFG和矩形ABCD重疊部分的圖形特點，分為0≤t＜1，1≤t＜2.5，2.5＜t＜3，3≤t＜6，6≤t＜7.5五種情況，分別寫出函數(shù)關(guān)系式．
解答：解：（1）∵△GEF是等邊三角形，
∴∠GED=60°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∴∠BAE=90°，
∴∠ABE=30°．
∴tan∠ABE==．
設(shè)PE=t，則AE=3-t，
∴．
∵AB=2，
∴，
∴t=1．
故答案為：1s；
（2）如圖2，設(shè)t秒后等邊△EFG的頂點G恰好落在BC上，作GM⊥PD于M，
在Rt△EGM中，由勾股定理得：
EM=2，
∴EF=4，
∴9-2t=4，
∴t=2.5s．
故答案為：2.5．
（3）①當(dāng)0≤t＜1時，重合部分是直角梯形，如圖3，作FH⊥BC與H，
DF=CH=t，則在直角△FQH中，QH=HF•tan30°=2×=2，
則BQ=BC-QH-CH=6-2-t=4-t，
∴S=（BQ+AF）•AB=（4-t+6-t）•2=-2t+10；

②當(dāng)1≤t＜2.5時，如圖4，同上可得：CN=2+t，
BM=t-2.5，
則MN=6-（2+t）-（t-2.5）=6.5-2t，
EF=6+3-2t=9-2t，AE=3-t，
則S_△AEH=AE•AH=×（3-t）•（3-t）²=（3-t）²；
S_△EFG=（9-2t）²，S_△MNG=（6.5-t）2，
則重合部分的面積是：S=（9-2t）²-（6.5-t）²-（3-t）²；

③當(dāng)2.5＜t＜3時，如圖5，
等邊△EFG的邊長是9-2t，則面積是：（9-2t）²，
直角△AEQ中，AE=3-t，則AQ=（3-t），
因而△AEQ的面積是：（3-t）²，
則S=（9-2t）²-（3-t）²；

④當(dāng)3≤t＜6時，如圖6，重合部分就是△EFG，邊長是：3，則S=×3²=；



⑤當(dāng)6≤t＜7.5時，如圖7，重合部分就是△EFG，邊長是：3-2t，
則S=（3-2t）²．
點評：本題是函數(shù)與矩形、三角形的面積的計算，正確分情況討論是解題的關(guān)鍵．