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如圖,已知直線l的解析式為y=-x+6,它與x軸、y軸分別相交于A、B兩點,平行于直線l的直線n從原點O出發,沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動,運動時間為t秒,運動過程中始終保持n∥l,直線n與x軸、y軸分別相交于C、D兩點,線段CD的中點為P,以P為圓心,以CD為直徑在CD上方作半圓,半圓面積為S,當直線n與直線l重合時,運動結束.
(1)求A、B兩點的坐標;
(2)求S與t的函數關系式及自變量t的取值范圍;
(3)直線n在運動過程中,
①當t為何值時,半圓與直線l相切?
②是否存在這樣的t值,使得半圓面積S=S梯形ABCD?若存在,求出t值.若不存在,說明理由.

【答案】分析:(1)由直線l的解析式y=-x+6,令y=0求得A點坐標,x=0求得B點坐標;
(2)由面積公式S=,CD=OD=t列出函數關系式,D在線段OA上運動,可得出t取值范圍;
(3)①當兩直線的距離為時,半圓與直線相切,即AD=
②由面積公式列出等量關系“=”求出t值.
解答:解:(1)∵y=-x+6,令y=0,得0=-x+6,x=6
∴A(6,0)
令x=0,得y=6
∴B=(0,6)

(2)∵OA=OB=6
∴△AOB是等腰直角三角形
∵n∥l
∴∠CDO=∠BAO=45°
∴△COD為等腰直角三角形
∴OD=OC=t
CD=
∴PD=CD=t
S=πPD2=
∴S=(0<t≤6)

(3)
①分別過D、P作DE⊥AB于E、PF⊥AB于F
AD=OA-OD=6-t
在Rt△ADE中sin∠EAD=
DE=
∴PF=DE=
當PF=PD時,半圓與l相切

t=3
當t=3時,半圓與直線l相切.
②存在.
∵S梯形ABCD=S△AOB-S△COD=
S=
若S=S梯形ABCD,則
(π+1)t2=36


∴存在t=,使得S=S梯形ABCD
點評:本題為復雜的一次函數綜合題,其中有坐標的求法,動點運動的函數關系式以及面積的求法.
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13
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