Question

如圖，在平面直角坐標系中，點D的坐標為（3，7），過點D的直線y=kx+b交x軸、y軸于點M、N，四邊形ABCD、A₁B₁C₁C、A₂B₂C₂C₁，…均為正方形．
（1）正方形ABCD的邊長為    ；點M的坐標是    ；
（2）若如此連續組成正方形，則正方形A_nB_nC_nC_n-1的邊長為    （用含n的代數式表示）

Answer 1

【答案】分析：（1）過D作DP垂直于x軸，DQ垂直于y軸，由D的坐標得出DP與DQ的長，四邊形ABCD為正方形，得到四個角為直角，四條邊相等，由同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，且AD=AB，利用AAS得到三角形ADQ與三角形AOB全等，由全等三角形的對應邊相等得到QD=AO，AQ=OB，求出OA與OB的長，在直角三角形AOB中，利用勾股定理求出AB的長，即為正方形ABCD的邊長，再由直角三角形ADM中，DQ垂直于AM，得到三角形MDQ與三角形AOD相似，由相似得比例，將各自的值代入求出MQ的長，由MQ+OQ求出OM的長，即可確定出M的坐標；
（2）由同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，得到△AOB與△BA₁B₁相似，由相似得比例，將各自的值代入求出A₁B₁的長，即為正方形A₁B₁C₁C的邊長，同理求出A₂B₂C₂C₁的邊長，以此類推，即可得到正方形A_nB_nC_nC_n-1的邊長．
解答：解：（1）過D作DP⊥x軸于P，DQ⊥y軸于Q，
∵D（3，7），
∴DP=7，DQ=3，
∵四邊形ABCD正方形，
∴∠ADC=∠DAB=∠ABC=90°，AD=AB=BC=DC，
∴∠DAQ+∠BAO=90°，又∠DAQ+∠ADQ=90°，
∴∠BAO=∠ADQ，
在△ADQ和△ABO中，
，
∴△ADQ≌△BAO（AAS），
∴DQ=AO=3，AQ=OB=OQ-OA=7-3=4，
在Rt△AOB中，根據勾股定理得：AB==5，
∴正方形ABCD的邊長為5；
在Rt△ADM中，DQ⊥AM，
∴△MDQ∽△DAQ，
∴DQ²=MQ•AQ，即9=4MQ，
∴MQ=，
∴OM=MQ+OQ=+7=，
則M（0，）；

（2）∵AB∥A₁B₁，
∴∠ABO=∠A₁B₁B，又∠AOB=∠BA₁B₁=90°，
∴△AOB∽△BA₁B₁，又AB=BC=5，
∴=，即=，
又A₁C=A₁B₁，
∴A₁B₁==；
同理得到A₂B₂==，A₃B₃==，
則以此類推，正方形A_nB_nC_nC_n-1的邊長為．
故答案為：（1）5；（0，）；（2）．
點評：此題屬于一次函數的綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，正方形的性質，勾股定理，坐標與圖形性質，鍛煉了學生歸納總結的能力．