Question

如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°AC=4cm，BC=3cm，點P由B出發沿BA方向向點A勻速運動，速度為1cm/s；點Q由A出發沿AC方向向點C勻速運動，速度為2cm/s；連接PQ．若設運動的時間為t（s）（0＜t＜2）．根據以上信息，解答下列問題：
（1）當t為何值時，以A、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似？
（2）設四邊形PQCB的面積為y（cm²），直接寫出y與t之間的函數關系式；
（3）在點P、點Q的移動過程中，如果將△APQ沿其一邊所在直線翻折，翻折后的三角形與△APQ組成一個四邊形，那么是否存在某一時刻t，使組成的四邊形為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中，AB==5，
由題意知：AP=5-t，AQ=2t，
當PQ∥BC，則△AQP∽△ACB，
∴=，
∴=，
t=，＜2，
當PQ⊥AB，則△APQ∽△ACB，
∴=，
∴=，
∴t=，＜2，
∴當t=或t=時，
以A、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似；

（2）過點P作PD⊥AC于D，
∵BC⊥AC，
∴PD∥BC，
∴，
即，
解得：PD=3-t，
∴S_{四邊形PQCB}=S_△ABC-S_△APQ=AC•BC-AQ•PD=×4×3-×2t×（3-t）=t²-3t+6，
∴y=t²-3t+6；

（3）若組成的四邊形為菱形，則△APQ必為等腰三角形，
①當沿AP翻折時，AQ=PQ，過Q作QD⊥AP于點D，則點D必為AP的中點，
∴Rt△ADQ∽Rt△ACB，
∴=，
即=，解得t=，＜2，
②當沿PQ翻折時，AQ=AP，2t=5-t，解得t=＜2
③當沿AQ翻折時，PQ=AP，過P點作PH⊥AC于H，則點H必為AQ的中點，
∴Rt△AHP∽Rt△ACB，
∴即，
解得：＞2（不合題意應舍去）
綜上所述，當時，所形成的四邊形為菱形．
分析：（1）利用勾股定理求出AB，再根據題意知：AP=5-t，AQ=2t，當PQ∥BC，則△AQP∽△ACB，利用其對應邊成比例即可求得t，當PQ⊥BC，則△APQ∽△ACB，利用其對應邊成比例即可求得t．
（2）y=t²-3t+6．
（3）若組成的四邊形為菱形，則△APQ必為等腰三角形，有3種情況，①當沿AP翻折時，AQ=PQ，過Q作QD⊥AP于點D，則點D必為AP的中點，利用相似三角形對應邊成比例即可求得；
②當沿PQ翻折時利用2t=5-t可解得t；
③當沿AQ翻折時，PQ=AP，過P點作PH⊥AC于H，則點H必為AQ的中點，利用相似三角形對應邊成比例即可求得．
點評：此題涉及到的知識點較多，有勾股定理，相似三角形的判定與性質，菱形的判定，翻轉變換等，綜合性較強，又涉及上動點問題，給此題又增加了一定的難度，因此此題屬于難題．