Question

如圖，二次函數y=x²-5x+4的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側），頂點為C，有一個動點E從點B出發以每秒一個單位向點A運動，過E 作y軸的平行線，交△ABC的邊BC或AC于點F，以EF為邊在EF右側作正方形EFGH，設正方形EFGH與△ABC重疊部分面積為S，E點運動時間為t秒．
（1）求頂點C的坐標和直線AC的解析式；
（2）求當點F在AC邊上，G在BC邊上時t的值；
（3）求動點E從點B向點A運動過程中，S關于t的函數關系．

Answer 1

【答案】分析：（1）把y=x²-5x+4化成頂點式，求出頂點C的坐標，y=x²-5x+4化成（x-1）（x-4），求出A、B的坐標，設AC直線為y=kx+b，把A、C的坐標代入就能求出直線AC的解析式；
（2）設直線BC的解析式是y=ax+c，把B、C的坐標代入就能求出直線BC，點E坐標為（4-t，0），點F坐標為（），求出EF=，FG=2t-3，根據EF=FG，即可求出t的值；
（3）可分以下幾種情況：①點F在BC上時，如圖1重疊部分是△BEF₂，此時時，點F坐標為（），根據三角形的面積公式即可求出；②I如圖2，EB≤EH時重疊部分是直角梯形EFKB，此時＜t≤，根據三角形的面積公式即可求出；II如圖3，EB＞EH，點G在BC下方時，重疊部分是五邊形EFKMH，此時，，因為S=S_{正方形EFGH}-S_△KMG，根據三角形的面積公式即可求出；Ⅲ．如圖4，點G在BC上或BC上方時，重疊部分是正方形EFGH，此時≤t＜3，
根據正方形的面積公式求出即可．
解答：（1）解：

∵y=x²-5x+4=，
頂點C的坐標為（），
∵y=x²-5x+4=（x-1）（x-4），
∴點A（1，0），B（4，0），
設AC直線為y=kx+b，得，
解得：k=-，b=，
∴，
答：頂點C的坐標為（），直線AC的解析式是．

（2）解：設直線BC的解析式是y=ax+c，
把B（4，0），C（，-）代入得：0=4a+c且-=a+c，
解得：a=，c=-6，
直線BC的解析式為，
當F在AC邊上，G在BC邊上時，
點E坐標為（4-t，0），點F坐標為（），
得EF=，
而EF=FG，
∵拋物線的對稱軸和等腰△ABC的對稱軸重合，
∴FG=，
=2t-3，
∴=2t-3，
解得，

答：當點F在AC邊上，G在BC邊上時t的值是．

（3）解：點E坐標為（4-t，0）隨著正方形的移動，重疊部分的形狀不同，可分以下幾種情況：
①點F在BC上時，如圖1重疊部分是△BEF，
此時時，點F坐標為（），
=，
②點F在AC上時，點F坐標為（）又可分三種情況：
Ⅰ．如圖2，EB≤EH時重疊部分是直角梯形EFKB（設FG與直線BC交于點K），
此時＜t≤，
∴，
Ⅱ．如圖3，EB＞EH，點G在BC下方時，重疊部分是五邊形EFKMH（設FG與直線BC交于點K，GH與直線BC交于點M），
此時，，
點H坐標為（），點M坐標為（），
，
，
，
∴S=S_EFGH-S_△KMG=（）²，
=，
Ⅲ．如圖4，點G在BC上或BC上方時，重疊部分是正方形EFGH，此時≤t＜3，
∴=t²-t+，
答：動點E從點B向點A運動過程中，S關于t的函數關系S=t²（0＜t≤）或S=-t²+9t-（＜t≤）或S=-t²+t-（＜t＜）或S=t²-t+（≤t＜3）．
點評：本題主要考查對二次函數與X軸的交點，用待定系數法求一次函數的解析式，解二元一次方程組，三角形的面積，用十字相乘法分解因式，二次函數圖象上點的坐標特征等知識點的理解和掌握，此題是一個拔高的題目，有一定的難度，用的數學思想是分類討論思想．